การคำนวณมูลค่าในปัจจุบันและอนาคตของค่างวด

การชำระเงินที่เกิดขึ้นซ้ำหรืออย่างต่อเนื่องเป็นค่างวดทางเทคนิค ไม่ว่าจะเป็นการชำระเงินคงที่ตลอดระยะเวลาเช่นการให้เช่าหรือสินเชื่อรถยนต์หรือรับรายได้เป็นระยะจากพันธบัตรหรือใบรับรองการฝาก (CD) คุณสามารถคำนวณมูลค่าปัจจุบัน (PV) หรือมูลค่าในอนาคต (FV) ของเงินรายปี

ประเภทของค่างวด

ค่างวดตามการชำระเงินอย่างต่อเนื่องสามารถกำหนดเป็นค่างวดสามัญหรือค่างวดที่ครบกำหนด

• ค่างวดสามัญ: เงินรายปีสามัญทำการชำระเงิน (หรือต้องการ) ในตอนท้ายของช่วงเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่นพันธบัตรโดยทั่วไปจ่ายดอกเบี้ยเมื่อสิ้นสุดทุก ๆ หกเดือน
• ค่างวดที่ครบกำหนด: ในทางตรงกันข้ามเงินรายปีที่เกี่ยวข้องกับการชำระเงินที่เริ่มต้นของแต่ละช่วงเวลา การชำระค่าเช่าหรือการชำระเงินกู้เมื่อต้นเดือนเป็นตัวอย่าง

มูลค่าในอนาคตของเงินรายปีธรรมดา

FV วัดว่าชุดการชำระเงินปกติจะคุ้มค่าเท่าใดในบางจุดในอนาคตเนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่ระบุ หากคุณวางแผนที่จะลงทุนจำนวนหนึ่งในแต่ละเดือนหรือปี FV จะบอกคุณว่าคุณจะสะสมเท่าไหร่ หากคุณชำระเงินตามปกติสำหรับเงินกู้ FV จะช่วยกำหนดต้นทุนรวมของเงินกู้

พิจารณาชุดการชำระเงินห้าดอลลาร์ห้าดอลลาร์ที่ทำในช่วงเวลาปกติ

เนื่องจากมูลค่าเวลาของเงิน – แนวคิดที่ว่าผลรวมใด ๆ ที่ได้รับนั้นมีค่ามากกว่าในอนาคตเพราะมันสามารถลงทุนในระหว่างนี้ – การชำระเงิน $ 1,000 ครั้งแรกมีค่ามากกว่าครั้งที่สองและอื่น ๆ

สมมติว่าคุณลงทุน $ 1,000 ต่อปีเป็นเวลาห้าปีที่ดอกเบี้ย 5% ด้านล่างนี้คือคุณจะมีเท่าไหร่ในตอนท้ายของห้าปี

หรือใช้สูตรมูลค่าในอนาคต–

$\begin{array}{cc}& {\text{FV}}_{\text{เงินรายปีธรรมดา}}–\text{C}\left[\frac{(1+i{)}^n-1}{i}\right]\\ & \text{ที่ไหน:}\\ & \text{C}–\text{กระแสเงินสดต่อระยะเวลา}\\ & \mathrm{ฉัน}–\text{อัตราดอกเบี้ย}\\ & n–\text{จำนวนการชำระเงิน}\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} & \ text {fv} _ {\ text {ธรรมดา ~ annuce}} = \ text {c} \ times \ left [\frac { (1 + i) ^ n – 1 }{ i } \right] \\ & \ textbf {โดยที่:} \\ & \ text {c} = \ text {กระแสเงินสดต่อระยะเวลา} \\ & i = \ text {อัตราดอกเบี้ย} \\ & n = \ text {จำนวนการชำระเงิน} \\ \ end {จัดตำแหน่ง}} FVสามัญ เงินรายปี–C[i(1+i)n−1​]ที่ไหน:C–กระแสเงินสดต่อระยะเวลาฉัน–อัตราดอกเบี้ยn–จำนวนการชำระเงิน

การใช้ตัวอย่างด้านบนนี่คือวิธีการทำงาน:

$\begin{array}{cc}{\text{FV}}_{\text{เงินรายปีธรรมดา}}& ––1–000\left[\frac{(1+0.05{)}^5-1}{0.05}\right]\\ & ––1–0005.53\\ & ––5–525.63\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} \ text {fv} _ {\ text {ธรรมดา ~ annuity}} & = \ \ $ 1,000 \ times \ left [\frac { (1 + 0.05) ^ 5 -1 }{ 0.05 } \right ] \\ & = \ $ 1,000 \ Times 5.53 \\ & = \ $ 5,525.63 \\ \ end {จัดตำแหน่ง} FVสามัญ เงินรายปี–$ 1–000[0.05(1+0.05)5−1​]–$ 1–0005.53–$ 5–525.63

ความแตกต่างหนึ่งเซ็นต์ในผลลัพธ์เหล่านี้ $ 5,525.64 เทียบกับ $ 5,525.63 เกิดจากการปัดเศษในการคำนวณครั้งแรก

มูลค่าปัจจุบันของเงินรายปีธรรมดา

ตรงกันข้ามกับการคำนวณ FV การคำนวณ PV จะบอกคุณว่าต้องใช้เงินเท่าไหร่ในการสร้างชุดการชำระเงินในอนาคตโดยสมมติว่าอัตราดอกเบี้ยที่กำหนดอีกครั้ง

การใช้ตัวอย่างเดียวกันของการชำระเงินห้าดอลลาร์ห้าดอลลาร์ที่ทำมานานกว่าห้าปีนี่คือวิธีการคำนวณ PV มันแสดงให้เห็นว่า $ 4,329.48 ที่ลงทุนที่ดอกเบี้ย 5% จะเพียงพอที่จะผลิตการชำระเงินห้าดอลลาร์ห้าดอลลาร์

นี่คือสูตรที่เกี่ยวข้อง–

$\begin{array}{cc}& {\text{PV}}_{\text{เงินรายปีธรรมดา}}–\text{C}\left[\frac{1-(1+i{)}^{-n}}{i}\right]\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} & \ text {pv} _ {\ text {ธรรมดา ~ annuce}} = \ text {c} \ times \ left [ \frac { 1 – (1 + i) ^ { -n }}{ i } \right ] \\ \ end {จัดตำแหน่ง} PVสามัญ เงินรายปี–C[i1−(1+i)−n​]

หากเราเสียบหมายเลขเดียวกันกับด้านบนเข้ากับสมการนี่คือผลลัพธ์:

$\begin{array}{cc}{\text{PV}}_{\text{เงินรายปีธรรมดา}}& ––1–000\left[\frac{1-(1+0.05{)}^{-5}}{0.05}\right]\\ & ––1–0004.33\\ & ––4–329.48\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} \ text {pv} _ {\ text {ธรรมดา ~ annuity}} & = \ \ $ 1,000 \ times \ left [ \frac {1 – (1 + 0.05) ^ { -5 } }{ 0.05 } \right ] \\ & = \ $ 1,000 \ times 4.33 \\ & = \ $ 4,329.48 \\ \ end {จัดตำแหน่ง} PVสามัญ เงินรายปี–$ 1–000[0.051−(1+0.05)−5​]–$ 1–0004.33–$ 4–329.48

มูลค่าในอนาคตของเงินรายปีที่ครบกำหนด

การชำระเงินของเงินรายปีจะเกิดขึ้นในตอนแรกแทนที่จะเป็นจุดสิ้นสุดของแต่ละช่วงเวลา

ในการบัญชีสำหรับการชำระเงินที่เกิดขึ้นในช่วงเริ่มต้นของแต่ละช่วงเวลาสูตร FV เงินรายปีสามัญด้านบนต้องมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย จากนั้นจะส่งผลให้ค่าที่สูงกว่าที่แสดงด้านล่าง

เหตุผลที่ค่าสูงกว่าคือการชำระเงินที่เริ่มต้นของงวดมีเวลามากขึ้นในการรับดอกเบี้ย ตัวอย่างเช่นหากมีการลงทุน $ 1,000 ในวันที่ 1 มกราคมมากกว่าวันที่ 31 มกราคมจะมีอีกหนึ่งเดือนที่จะเติบโต

สูตรสำหรับ FV ของเงินรายปีที่ครบกำหนดคือ:

$\begin{array}{cc}{\text{FV}}_{\text{เงินรายปีครบกำหนด}}& –\text{C}\left[\frac{(1+i{)}^n-1}{i}\right]–1–\mathrm{ฉัน}–\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} \ text {fv} _ {\ text {เงินรายปีครบกำหนด}} & = \ text {c} \ times \ left [ \frac{ (1 + i) ^ n – 1}{ i } \right ] \ times (1 + i) \\ \ end {จัดตำแหน่ง} FVเงินรายปีครบกำหนด–C[i(1+i)n−1​]–1–ฉัน–

ที่นี่เราใช้หมายเลขเดียวกันกับในตัวอย่างก่อนหน้าของเรา:

$\begin{array}{cc}{\text{FV}}_{\text{เงินรายปีครบกำหนด}}& ––1–000\left[\frac{(1+0.05{)}^5-1}{0.05}\right]–1–0.05–\\ & ––1–0005.531.05\\ & ––5–801.91\end{array}$

\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} \ text {fv} _ {\ text {เงินรายปีครบกำหนด}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [ \frac{ (1 + 0.05)^5 – 1}{ 0.05 } \right ] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1,000 \ Times 5.53 \ Times 1.05 \\ & = \ $ 5,801.91 \\ \ end {จัดตำแหน่ง} FVเงินรายปีครบกำหนด–$ 1–000[0.05(1+0.05)5−1​]–1–0.05––$ 1–0005.531.05–$ 5–801.91

ความแตกต่างหนึ่งเซ็นต์ในผลลัพธ์เหล่านี้ $ 5,801.92 เทียบกับ $ 5,801.91 เกิดจากการปัดเศษในการคำนวณครั้งแรก

มูลค่าปัจจุบันของเงินรายปีที่ครบกำหนด

ในทำนองเดียวกันสูตรสำหรับการคำนวณ PV ของเงินรายปีเนื่องจากพิจารณาว่าการชำระเงินจะทำในตอนเริ่มต้นมากกว่าการสิ้นสุดของแต่ละช่วงเวลา

ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้สูตรนี้เพื่อคำนวณ PV ของการชำระค่าเช่าในอนาคตของคุณตามที่ระบุไว้ในสัญญาเช่าของคุณ สมมติว่าคุณจ่ายค่าเช่า $ 1,000 ต่อเดือน ด้านล่างเราจะเห็นว่าค่าใช้จ่ายห้าเดือนถัดไปที่มูลค่าปัจจุบันโดยสมมติว่าคุณเก็บเงินไว้ในบัญชีที่ได้รับดอกเบี้ย 5%

นี่คือสูตรสำหรับการคำนวณ PV ของเงินรายปีที่ครบกำหนด:

$\begin{array}{c}{\text{PV}}_{\text{เงินรายปีครบกำหนด}}–\text{C}\left[\frac{1-(1+i{)}^{-n}}{i}\right]–1–\mathrm{ฉัน}–\end{array}$

\ เริ่มต้น {จัดตำแหน่ง} \ text {pv} _ {\ text {annuity due}} = \ text {c} \ times \ left [ \frac{1 – (1 + i) ^ { -n } }{ i } \right ] \ times (1 + i) \\ \ end {จัดตำแหน่ง} PVเงินรายปีครบกำหนด–C[i1−(1+i)−n​]–1–ฉัน–

ดังนั้นในตัวอย่างนี้:

$\begin{array}{cc}{\text{PV}}_{\text{เงินรายปีครบกำหนด}}& ––1–000\left[\frac{(1-(1+0.05{)}^{-5}}{0.05}\right]–1–0.05–\\ & ––1–0004.331.05\\ & ––4–545.95\end{array}$

\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง} \ text {pv} _ {\ text {เงินรายปีครบกำหนด}} & = \ $ 1,000 \ times \ left [ \tfrac{ (1 – (1 + 0.05) ^{ -5 } }{ 0.05 } \right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1,000 \ times 4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4,545.95 \\ \ end {จัดตำแหน่ง} PVเงินรายปีครบกำหนด–$ 1–000[0.05(1−(1+0.05)−5​]–1–0.05––$ 1–0004.331.05–$ 4–545.95

บรรทัดล่าง

มูลค่าปัจจุบันและสูตรมูลค่าในอนาคตช่วยให้บุคคลกำหนดว่าเงินรายปีสามัญหรือเงินรายปีที่กำหนดมีค่าในตอนนี้หรือใหม่กว่า การคำนวณดังกล่าวและผลลัพธ์ของพวกเขาช่วยในการวางแผนทางการเงินและการตัดสินใจลงทุน